Задачі Ейлера в шкільному курсі математики

Відкрити, зберегти на свій комп'ютер або роздрукувати повний текст (формат PDF)

 

Вступ

Захоплення математикою здебільшого починається з міркування над якоюсь цікавою задачею. Вона може зустрітися на уроці, на заняті математичного гуртка, в математичній літературі. Завдання сучасної школи виховати творчу особистість. Знання, навички уміння здобувають в результаті власної активної діяльності. Роль учителя полягає у створенні відповідних умов які спонукали б учня до розв’язування задач, до пошуку та “відкриття” нових знань.

         Я пропоную задачі Ейлера, які розв’язуються в шкільному курсі математики (поглиблений курс), а також можуть бути використані в позаурочний час.

 

Зміст 

Вступ……………………………………………………………………..             3 

Розділ І. Задачі Ейлера в шкільному курсі математики……………..             4 

1.1.         Пряма Ейлера…………………………………………………….             4 

1.2.         Коло Ейлера……………………………………………………….            5     

1.3.         Доведення тотожностей Ейлера....................................................           8 

1.4.         Показникова форма комплексного числа. Формули Ейлера…………      11 

1.5                Розв’язування рівнянь вищих степенів :

а) зворотні рівняння.........................................................................          14 

б) метод спостереження .................................................................          17 

Розділ ІІ. Цікаві задачі Ейлера..................................................................         19 

2.1         Задача Ейлера про сім мостів ........................................................         19 

2.2         Задача про хід шахматного коня.....................................................          20 

Розділ ІІІ. Біографічна довідка................................................................          21 

Висновки.....................................................................................................          22 

Список використаних джерел....................................................................         23

 

Розділ І. Задачі Ейлера в шкільному курсі  

    1.1                          Пряма Ейлера 

Теорема. 

Утрикутнику точка перетину медіан ортоцентр і центр описаного кола

лежать на одній прямій-ця пряма називається прямою Ейлера

Доведення: 

Проведемо через вершини трикутника АВС прямі, паралельні сторонам  

трикутника, до їх взаємного перетину в точках А1, В1, С1.Тоді  

АВС1С,АВСВ1, САС1В-паралелограми,отже, ВС1=ВА1=АС, В1С=А1С=ВА.  

Відрізки АА1,ВВ1,СС1 є діагоналями цих паралелограмів і отже , поділяють  

відповідно сторони ВС, АС, АВ навпіл. Тоді ці відрізки перетинаються в  

точці М перетину медіан трикутника АВС і = = =- . Отже, при

гомотетії з центром у точці М і коефіцієнтом к=-  трикутник Авс  

переходить у трикутник А1В1С1. З теореми про прямі , які містять висоти  

трикутника, перетинаються в одній точці випливає, що точку Н перетину  

висот дана гомотетія переводить у центр О кола . описаного навколо  

трикутника Авс. Отже, точки М, О, Н лежать на одній прямій, причому

точка М лежить між точками О та Н і МН=2МО 

Наслідок. У трикутникуАВС МН=2МО,ОН=3МО.

 

      1.2    Коло Ейлера 

Теорема : 

У медіан, основи висот і точки , які поділяють навпіл відрізки. Що сполучають

вершини трикутника з ортоцентром. Лежать на одному колі-коло Ейлера